Monotonia e primeira derivada:

Através da primeira derivada é possível estudar a monotonia e obter extremos de uma função f. Se a derivada df/dx for positiva num determinado intervalo então f é crescente nesse intervalo. Se df/dx for negativa então f é decrescente e se df/dx for nula então f é constante.

Deste modo também se pode estudar a existência de extremos (máximos ou mínimos) de uma função. Onde houver alteração de sinal na derivada existe um extremo.

Se se pretender obter os extremos relativos ou estudar a monotonia de uma função f, devem realizar-se os seguintes passos:

1. Calcular a derivada de f;
2. Calcular os zeros da derivada obtida no passo anterior;
3. Construir um quadro de sinais tal que na primeira linha estejam os zeros obtidos (juntamente com mais e menos infinito), na segunda linha a função derivada f' e o seu sinal e finalmente na última linha a função inicial f e a sua monotonia e extremos:

Note que a e b são minimizantes e maximizantes (respectivamente). Enquanto que f(a) e f(b) são mínimo e máximo.

Concavidade e segunda derivada:

Através da segunda derivada estuda-se a concavidade de uma função f. Se a derivada f" for positiva num determinado intervalo então f tem a concavidade voltada para cima. Se f" for negativa então f tem a concavidade para baixo e se f" for nula então f não tem concavidade (é uma linha horizontal).

Os pontos onde exista mudança de concavidade são chamados pontos críticos. Os passos para o estudo são semelhantes ao caso do estudo da monotonia com a diferença de se recorrer à segunda derivada da função. O quadro de sinais é do tipo:

Teste da primeira e segunda derivada:

Seja f uma função contínua e c um ponto crítico de f.

• Se f" altera o seu sinal de negativo para positivo em c, então f(c) é um mínimo local (relativo).
• Se f" altera o seu sinal de positivo para negativo em c, então f(c) é um máximo relativo.