Equações Diferenciais

Chama-se equa ção diferencial ordinária a uma igualdade que estabelece uma rela ção entre uma vari ável independente x, uma fun ção desconhecida y = y(x), e as suas derivadas, y', y'', ..., y^n, isto é, uma equa ção da forma:

Equa ção diferencial ordinária porque y = y(x) é fun ção de apenas uma variável independente x.

Nota: Se y fosse uma fun ção de duas ou mais vari áveis independentes, por exemplo y = y(x, t),

então ter íamos uma equa ção diferencial de derivadas parciais.

• Ordem: chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da derivada de maior ordem presente na equação.

• Grau: o grau de uma EDO é dado pelo grau da derivada de maior ordem.

• Solução: chama-se solu ção de uma EDO, num intervalo ]a, b[, a uma fun ção y = φ(x), tal que, substituí da na equação diferencial, a transforma numa identidade ∀∈ ]a, b[.

Nota: Nem sempre é possí vel explicitar y como fun ção de x. Ou seja, a solu ção de uma dada equação diferencial pode apresentar-se na forma explí cita y = φ'(x) ou na forma impl ícita Ф(x,y) = 0.

Nem todas as equações diferenciais são solúveis.

Uma solu ção particular de uma EDO é qualquer solu ção da mesma.

É possível trazer para o ensino de EDO a abordagem qualitativa, ou seja, interpretar uma EDO por meio das informações geométricas obtidas através dos chamados campos de direcções. Um campo de direcções, desenhado numa malha razoavelmente fina, fornece uma boa ideia do comportamento global das soluções de uma equação diferencial. Entende-se por campos de direcções, o esboço, em cada ponto de uma malha no plano cartesiano, de um segmento unitário de recta cujo coeficiente angular é o valor da função naquele ponto, conforme ilustrado na figura acima. Desta forma, cada segmento de recta é tangente ao gráfico de uma solução da equação diferencial ordinária contendo aquele ponto.