Derivadas

A derivada num ponto f'(x0) é igual ao declive da recta tangente à função no ponto x0.

A derivada também é chamada taxa de variação instantânea, velocidade instantânea ou apenas velocidade.

Para calcular a derivada por definição num ponto x0 recorre-se ao cálculo de um dos limites:

Derivadas laterais:

• A derivada à esquerda num ponto x0 calcula-se por um dos limites:

• De igual modo a derivada à direita num ponto é dada por:

• 

Obs.:

• Para que a derivada num ponto exista é necessário que as suas derivadas laterais sejam iguais:

• Estes limites utilizam-se sempre que a função estiver definida por ramos e se pretender calcular a derivada no ponto de viragem;

• Geometricamente a derivada lateral à esquerda (ou direita) é igual ao declive da recta semitangente à esquerda (ou direita) do ponto.

Observações importantes:

1. Uma função f diz-se derivável num ponto se tem derivada finita nesse ponto;
2. Uma função com derivada finita num ponto é contínua nesse ponto. Deste modo se uma função for descontínua num ponto então nunca terá derivada nesse mesmo ponto;
3. Sempre que o gráfico de uma função f tiver um "pico" num ponto não tem derivada nesse mesmo ponto, uma vez que existem várias rectas tangentes;
4. Em física a derivada do movimento de um projéctil corresponde à velocidade e a segunda derivada à acelaração.
5. Uma função é diferenciável se tiver derivada em todos os pontos do seu domínio.
6. Se f é diferenciável em c, então f é contínua em c;
7. Se f é contínua em c, não é necessariamente diferenciável em c.
8. f'(x)=dy/dx