Truques de matemática

Matemática divertida

Coloco agora alguns vídeos sobre a Matemática que encontrei bastante engraçados:

Equações Diferenciais:

1.

Resolução:

2.

Resolução:

3.

Resolução:

4.

Para a resolução deste tipo de questões é necessária a ajuda de um meio tecnológico. Como tal, deixo aqui o site que pode ajustar neste tipo de problemas: math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

Antiderivadas e Integração:

1.

Resolução: (tendo em conta a tabela básica de antiderivadas colocada no próprio conceito "Antiderivadas")

a) y= 6 x^3/3 + c = 2x^3 + c

d) y= 5/4 x^4 + c

g) 1/3 sent + c

j) y= 3/5 x^5 – x^3/3 + c

m) y= a/4 x^4 ~b/5 x^6 + c

p) Q= αsenα – bcosα + c

2.

Resolução:

3. Cálculo e resolução:

Derivadas:

1. Uma massa é espalhada ao longo do eixo dos x's. Seja M(x) a massa total entre a origem e o ponto de abcissa x. Para x1 = 4cm, x2 = 7cm e x3 = 9cm temos os seguintes valores M(x1) = 83g,

M(x2) = 141g e M(x3) = 179g. A densidade m édia no intervalo [0, x] aumenta ou diminui à medida

que x aumenta?

Resolução:

2.

Resolução:

3.

Resolução:

N’= 52 + 4t

N’(5)= 52 + 4*5= 72 bactérias

Continuidade:

1.

Resolução:

2. Determina analiticamente as equações das assimptotas do gráfico da função definida por g(x) = -x -3 + 4e^x/e^x-1.

Resolução:

Exercícios

Limites:

1.

Resolução:

2. Calcule o seguinte limite:

3. Calcule o seguinte limite:

Resolução:

4. Cálculo de limites notáveis em que é necessário fazer pequenas alterações:

Equações Diferenciais de Variáveis Separadas e Separáveis

Chama-se equação diferencial de variáveis separadas a uma equa ção diferencial da forma:

Chama-se equação diferencial de variáveis separáveis a uma equação diferencial da forma:

Equações Diferenciais

Chama-se equa ção diferencial ordinária a uma igualdade que estabelece uma rela ção entre uma vari ável independente x, uma fun ção desconhecida y = y(x), e as suas derivadas, y', y'', ..., y^n, isto é, uma equa ção da forma:

Equa ção diferencial ordinária porque y = y(x) é fun ção de apenas uma variável independente x.

Nota: Se y fosse uma fun ção de duas ou mais vari áveis independentes, por exemplo y = y(x, t),

então ter íamos uma equa ção diferencial de derivadas parciais.

• Ordem: chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da derivada de maior ordem presente na equação.

• Grau: o grau de uma EDO é dado pelo grau da derivada de maior ordem.

• Solução: chama-se solu ção de uma EDO, num intervalo ]a, b[, a uma fun ção y = φ(x), tal que, substituí da na equação diferencial, a transforma numa identidade ∀∈ ]a, b[.

Nota: Nem sempre é possí vel explicitar y como fun ção de x. Ou seja, a solu ção de uma dada equação diferencial pode apresentar-se na forma explí cita y = φ'(x) ou na forma impl ícita Ф(x,y) = 0.

Nem todas as equações diferenciais são solúveis.

Uma solu ção particular de uma EDO é qualquer solu ção da mesma.

É possível trazer para o ensino de EDO a abordagem qualitativa, ou seja, interpretar uma EDO por meio das informações geométricas obtidas através dos chamados campos de direcções. Um campo de direcções, desenhado numa malha razoavelmente fina, fornece uma boa ideia do comportamento global das soluções de uma equação diferencial. Entende-se por campos de direcções, o esboço, em cada ponto de uma malha no plano cartesiano, de um segmento unitário de recta cujo coeficiente angular é o valor da função naquele ponto, conforme ilustrado na figura acima. Desta forma, cada segmento de recta é tangente ao gráfico de uma solução da equação diferencial ordinária contendo aquele ponto.

Valor médio de uma função

Para calcular o valor médio de uma função num intervalo [a,b], recorre-se à seguinte expressão:

Aplicações:

Calcule o valor médio da função f(x)=x^2 no intervalo [2,4].

Resolução:

Integração por fracções parciais

Consideremos uma função do tipo

sendo o grau do polinómio p(x) menor do que k (que representa o grau do polinómio do denominador). É possível decompor f como uma soma de fracções (chamadas de fracções parciais), de modo a obtermos:

sendo A1, A2, ... Ak constantes.

Aplicação:

Recorrendo à integração por fracções parciais,

Resolução:

Integração por partes

Para resolver exercícios com base na Integração por partes recorre-se à seguinte expressão:

Nota: Esta f órmula utiliza-se para calcular o integral de fun ções que podem ser postas sob a forma do produto de u e v', tais que a procura de v e o cálculo do integral u'v dx sejam um problema mais simples do que o c álculo do integral uv' dx.

Aplicação:

Determine o integral indefinido recorrendo à integração por partes:

Integral Indefinido

Chama-se integral indefinido da função f(x), e denota-se por

a toda a expressão da forma F(x) + C, onde F(x) é uma primitiva de f(x) e C ∈ IR.

Em resumo, pode então escrever-se a seguinte expressão:

Nota: O integral indefinido acima representado representa o conjunto de todas as primitivas da função f(x).

Propriedades do Integral Indefinido:

Alguns integrais imediatos:

Teorema Fundamental do Cálculo Integral

Se f é contínua em [a,b], então a função F(x) definida por:

é contínua em [a,b], diferenciável em [a,b] e F'(x)=f(x).

Aplicação:

• Aplicando o teorema fundamental do cálculo:

Integral definido

O Integral Definido foi um conceito que surgiu associado ao c álculo de áreas de regiões planas como limite da soma de v árias sub -áreas (somas de Riemann).

Assim sendo, uma das aplicações do Integral Definido é o cálculo de áreas. Daí que quando se calcula um integral definido se obtém um número.

O integral tem, portanto, de estar definido num intervalo [a,b] e pode ser representado por:

De seguida apresento as propriedades dos integrais definidos:

Antiderivada ou primitiva

Diz-se que F(x) é uma primitiva da fun ção f(x) sobre [a, b], se

Teorema: Se F é uma antiderivada de f no intervalo I, então F (x) + c, com c uma constante, é a antiderivada mais geral de f em I.

Tabela básica de antiderivadas:

Polinómio de Taylor

O polinómio de Taylor de grau n é dado por, numa vizinhança de x = a,

A principal propriedade deste polinómio é que ele passa pelo ponto (a; f(a)) e possui as mesmas derivadas até ordem n que a função f.

O polinómio de Taylor de f desenvolvido numa vizinhança de x=a aproxima a função nesta vizinhança.

Para uma melhor percepção da utilização desta fórmula apresento o vídeo abaixo que, apesar de se encontrar em inglês, está bastante claro e apresenta bastantes exemplos onde este polinómio de Taylor se aplica.