Funções

Na vida corrente é usual estabelecermos correspondências, muitas vezes de forma tão natural que nem tomamos consciência desse facto. Por exemplo, quando uma criança pequena se refere ao seu "urso verde" e ao "coelho amarelo", está a estabelecer uma correspondência:

Boneco → Cor

urso → verde

coelho → amarelo

Este tipo de procedimento é fundamental em qualquer ciência. A Matemática pretende tornar esta ideia rigorosa (definindo função) de modo a eliminar qualquer ambiguidade.

Consideremos a seguinte situação comum: numa turma de quatro alunos, o professor faz a chamada

António Sousa

Joana Silva

Maria Sá

Pedro Sarmento

Temos dois conjuntos

A = {António, Joana, Maria, Pedro},

B = {Sá, Sarmento, Silva, Sousa},

e uma correspondência de A em B, que a cada elemento de A associa o respectivo apelido, elemento de B. Por outras palavras, dado um x em A aexpressão “apelido de x” identifica um (e um só) elemento de B.

Imaginemos agora que, aos mesmos alunos, o professor pergunta onde passaram as férias grandes, obtendo as respostas

António — campo

Joana — praia

Maria — campo

Pedro — praia e campo

Tomando o conjunto C = {campo, praia}, temos acima uma correspondência de A em C. Há, no entanto, uma diferença fundamental: dado x ∈ A, a expressão “local onde se passou as férias grandes” não identifica um elemento único de C, visto que o Pedro passou férias no campo e na

praia.

Esta ambiguidade na imagem não é aceitável em Matemática: no primeiro caso, a correspondência é uma função de A em B enquanto que, no segundo caso, a correspondência não é uma função de A em C.

Com rigor diremos que:

Dados dois conjuntos A e B, uma função (ou aplicação) de A em

B é uma correspondência que a cada elemento x ∈ A associa um e um só elemento

y ∈ B.

As funções podem ser crescentes, decrescentes ou constantes. Assim:

• Uma fun ção f diz-se crescente se ∀x1; x2 ∈ D : x1 < x2 → f(x1) menor ou igual a f(x2)
• Uma fun ção f diz-se decrescente se ∀x1; x2 ∈ D : x1 < x2 → f(x1) maior ou igual a f(x2)
• Uma função constante tal como o nome indica é constante, ou seja, por mais valores de x ou y que se dê, ela permanece sempre igual.