Função Inversa; Funções Par e Ímpar

Função Inversa

Seja f : A → B uma função injectiva. À função de f (A) em A que a cada x ∈ f (A) faz corresponder o (único) y ∈ A tal que f (y) = x, damos o nome de função inversa de f e designamo-la por f^-1.

De forma equivalente tem-se

f^-1 : f (A) → A

∀ x ∈ f (A) f −1(x) = y ⇔ f (y) = x.

Domínio e contradomínio:

• Df = D'f^-1
• Df^-1= D'f

(O contradomínio de uma função f é igual ao domínio da sua inversa f^-1 ( e vice-versa).

Nota: Dado o gráfico de uma função invertível f, o gráfico da função inversa f^-1 pode ser obtido reflectindo o gráfico de f em relação a y=x.

Para a construção analítica da inversa de uma função devem seguir-se os seguintes passos:

1. Igualar a função f a y;
2. Isolar x;
3. Trocar x por y.

Obs: Apenas as funções injectivas têm inversa e o teste das rectas horizontais permite testar se um gráfico corresponde a uma função injectiva. Se não existir uma única recta horizontal que "toque" na função mais que uma vez então esta é injectiva.

Função Par e Ímpar:

Função Par: Quando f(x)=f(-x) - Simetria em relação ao eixo y

Ex: f: IR - IR, com f(x)=x^2. Repare-se que f(x)=f(-x), pois x^2=(-x)^2 para todo x real.

Função Ímpar: Quando f(-x)=-f(x) - Simetria em relação à origem (0,0)

Ex: f(x)=x^3 é ímpar pois -f(x)=-x^3 e f(-x)= (-x)^3=-x^3

Classificação das funções

Função Sobrejectora: Quando a imagem for igual ao contradomínio.

Dica: Se não sobra é sobrejectora.

Função Injectora: Quando todo o elemento de A se corresponder com um elemento diferente em B.

Função Bijectora: Quando tivermos ao mesmo tempo uma função sobrejectora e injectora.

Nota: Somente a função bijectora admite inversa.

Funções

Na vida corrente é usual estabelecermos correspondências, muitas vezes de forma tão natural que nem tomamos consciência desse facto. Por exemplo, quando uma criança pequena se refere ao seu "urso verde" e ao "coelho amarelo", está a estabelecer uma correspondência:

Boneco → Cor

urso → verde

coelho → amarelo

Este tipo de procedimento é fundamental em qualquer ciência. A Matemática pretende tornar esta ideia rigorosa (definindo função) de modo a eliminar qualquer ambiguidade.

Consideremos a seguinte situação comum: numa turma de quatro alunos, o professor faz a chamada

António Sousa

Joana Silva

Maria Sá

Pedro Sarmento

Temos dois conjuntos

A = {António, Joana, Maria, Pedro},

B = {Sá, Sarmento, Silva, Sousa},

e uma correspondência de A em B, que a cada elemento de A associa o respectivo apelido, elemento de B. Por outras palavras, dado um x em A aexpressão “apelido de x” identifica um (e um só) elemento de B.

Imaginemos agora que, aos mesmos alunos, o professor pergunta onde passaram as férias grandes, obtendo as respostas

António — campo

Joana — praia

Maria — campo

Pedro — praia e campo

Tomando o conjunto C = {campo, praia}, temos acima uma correspondência de A em C. Há, no entanto, uma diferença fundamental: dado x ∈ A, a expressão “local onde se passou as férias grandes” não identifica um elemento único de C, visto que o Pedro passou férias no campo e na

praia.

Esta ambiguidade na imagem não é aceitável em Matemática: no primeiro caso, a correspondência é uma função de A em B enquanto que, no segundo caso, a correspondência não é uma função de A em C.

Com rigor diremos que:

Dados dois conjuntos A e B, uma função (ou aplicação) de A em

B é uma correspondência que a cada elemento x ∈ A associa um e um só elemento

y ∈ B.

As funções podem ser crescentes, decrescentes ou constantes. Assim:

• Uma fun ção f diz-se crescente se ∀x1; x2 ∈ D : x1 < x2 → f(x1) menor ou igual a f(x2)
• Uma fun ção f diz-se decrescente se ∀x1; x2 ∈ D : x1 < x2 → f(x1) maior ou igual a f(x2)
• Uma função constante tal como o nome indica é constante, ou seja, por mais valores de x ou y que se dê, ela permanece sempre igual.